数学思维

good

谢谢您带领我们从那最美丽的路径穿过这座花园。 P4

3. 取出后在冰箱中冷藏约8小时。 P5

数学是关于如何把各种想法组合到一起,创造出令人激动的新想法的科学。 P6

数学的确很难,但它也能让复杂的事情变得简单。 P7

这个分支叫作“范畴论”,可以被理解为“关于数学的数学”。 P8

3. 缓缓将巧克力倒入蛋液中。 P10

碰巧,在上述这个食谱里,方法很重要——我们没法儿直接用一个很大的托盘成功地烤出布朗尼,我们必须要用小号模具。 P11

也许你买了一只慢炖锅,或是一只蒸锅,或是一个电饭煲。 P12

这就类似于我们买了一个搅拌机,然后决定用它做各种美食这种情况。 P13

在数学里,我们使用的方法是逻辑。 P14

我们可以说清楚数学是什么,而不是数学像什么吗?数学到底研究什么?它的确研究数字,但也研究其他东西,比如形状、图像和模式,以及肉眼看不到的——富有逻辑的想法。 P15

第二种是“广义化”:我们明白了如何用我们已经理解的事物来建构更复杂的事物。 P16

所以你也没有办法使用抽象化。 P17

每一个绳结都可以用三维空间里的一个环来表示。 P18

正是这束光让人看得更加清楚,而由此,我们便迈出了认识周围世界的第一步。 P19

如果是做荷兰酱,则需要用100克融化的黄油代替橄榄油。 P20

数学也是如此,通过寻找除了微小细节外其他大体一致的事物来达成简化的目的。 P21

馅料可以是奶酪培根、鱼、蔬菜,任何你喜欢放的食材。 P22

比如,如果我们以一条中垂线为轴翻转三角形,那么数字1和3就交换了位置。 P23

等边三角形的三种旋转对称则是:顺时针旋转120°后与原三角形重合,顺时针旋转240°后与原三角形重合,以及旋转360°后与原三角形重合。 P24

孩子们会被告知,解这种题的第一步就是把这道文字题转化为数字和符号:36×2=?这就是一种抽象的过程。 P25

在本章的后面部分,我们会揭晓这两道题的答案。 P26

这就是抽象的过程:把糖、猴子、房子或别的什么,变成数字。 P27

再然后,他们意识到他们应该在背这首诗的时候,每念一个字,就指着一样东西,但他们很难确保每样东西只被指过一次。 P28

最后,你创作了一首各方面都很合适的诗,并在每次做买卖的时候都坚持使用这首诗,一劳永逸地解决了所有的问题。 P29

那么再看看这个情境。 P30

你失去了你所爱的某样东西。 P31

当你在开车的时候,看懂路标比读懂一句话要快得多;而且,路标也能让不熟悉当地语言的外国人更容易理解。 P32

(“禁止入内”看起来应该像什么样子呢?)但在现实生活中,它的作用更重要——你在你的驾驶生涯中遇到的“禁止入内”的路标想必要远多于“有鹿出没”的路标。 P33

在实际应用中,困难存在于抽象与现实之间的转化,也就是在地图和你要找的地方之间建立联系。 P34

圆形的面积是πr2,r是半径。 P35

数学以及使用地图的关键就在于针对不同情境进行不同程度的抽象。 P36

不合适的地图会让人沮丧,因为它们不是太具体就是太不具体。 P37

从具体事物到数字的抽象对许多人来说并不困难,他们甚至都没有意识到自己进行了这样的抽象转换。 P38

在中学,我们通常会用一种实验性的方法给出证明,即在小方格纸上画出函数图,再数一数阴影部分有多少个小方格。 P39

他们遇到这个困难时的反应就和中学生遇到x和y时的反应一样——他们不理解为什么要这么做,并且拒绝进一步的抽象。 P40

在我的记忆里,这就是我每一次在做研究时遇到一个很难理解的数学概念时的真实感受。 P41

我还记得,当有人告诉我等式的右边应该是c – b的时候,我感觉自己好傻。 P42

尽管笑吧,但这就是当时让我困惑不已的那个概念。 P43

这就是一种抽象:制造机器来做某件事,而不是直接去做某件事。 P44

首先,我们需要学习怎么解这种方程:2x+3=7然后,我们要做的是发明一个“机器”来解这种方程,也就是说,我们要解的是下面这个方程:ax+b=c因为其中的a、b和c可以是任意数字。 P45

切蛋糕一个关于抽象的例子我还记得第一次做英国中等教育普通证书(GCSE)资格考试的数学考试题时的一道题目。 P46

也就是说,我们的目的不在于解决这个具体的问题,而在于研发一种机器,用于解决这一类的问题。 P47

除了写出公式本身外,你也可以把所有可能的答案列成一张表,如下所示:你不可能把这张表真的“写完”,在某个时候,你不得不停下来,因为纸不够用,你的时间也不够用。 P48

以此类推,接下来的一个问题就是,谁来培训这些培训老师的人?做蛋糕并不需要耗费多少脑力,但发明一种新的蛋糕烹饪方法就不一样了,你需要变得比之前更聪明一些。 P49

对以实证为基础的科学来说,证据总是最重要的。 P50

但接下来就不一样了,我们不再使用实证性的方式来严格检验这个假设,而是使用逻辑来严格检验这个假设。 P51

与此类似,假如你想弄明白的是改变一条公路的路线会如何影响交通流量呢?实验可能过于危险假如你想知道的是一座桥可以承受的最大运载量呢?显然,你不可能让很多的车辆驶上桥面,然后观察桥会在什么时候崩塌。 P52

逻辑是如何运作的?逻辑性论据包含一系列的主张,其中的每一个判断都是完全依据逻辑由上一个判断推导出来的。 P53

你可以不同意一只鸡够10个人吃这一假设(也许不够10个人吃,除非是某种转基因巨型鸡),但你不能不同意这个结论:如果一只鸡够10个人吃,那么两只鸡就够20个人吃。 P54

数字1、2、3、4……只是一些概念。 P55

你的想象力越丰富,你就越有机会探索更多的数学领域。 P56

这一步的关键就在于,10年之后,我的年龄将会变成x+10,他的年龄将会变成y+10;我们还知道,那时候他的年龄将会是我的2倍,也就是说:y+10=2(x+10)我们可以将第一个等式代入第二个等式,即用3x替代上面这个等式中的y,如此,我们就得到:3x+10=2(x+10)=2x+20 …… 去掉括号做乘法运算x+10=20 …… 两边同时减去2xx=10 …… 两边同时减去10所以我们得出结论:我现在的年龄是10岁(我爸爸的年龄为30岁)。 P57

我已经知道覆盖一个6英寸蛋糕的表面和侧面需要用到多少糖霜了。 P59

我们需要知道的是,做一个8英寸蛋糕要比做一个6英寸蛋糕多用多少糖霜,所以我们需要知道上面的第二个面积总和比第一个面积总和大多少。 P60

所以我们最终的、无法辩驳的结论是:如果所有蛋糕都是2英寸高,那么我们就需要按原配方中配料的1.5倍准备原材料。 P61

1英寸≈ 2.54厘米。 P62

3. 倒入可可粉直至面糊呈深棕色。 P63

我管这个配方叫作“会议布丁”,是因为我第一次做它是在一次会议晚宴之后,一大群数学家高高兴兴地涌入我的公寓,请我做一些布丁吃。 P64

除了严格遵照食谱进行操作,理解烤蛋糕背后的原理还有别的理由。 P65

实际上,我还经常借助微波炉来融化巧克力,或者,更好的办法是,将盛放巧克力的器皿直接放在电磁炉上,调小火加热。 P66

出于某种原因,我比其他人更擅长焊接,并且我觉得这项工作很让人激动——那些噪声、四散的火花、由高温作业带来的温度上升、它所包含的潜在的危险性,以及用加热的方式将金属连接起来的“魔力”,都让我深深着迷。 P67

而对于数学,如果我遇到了问题,我还是有可能自己搞定的——至少,我可以检查一下我的推理,看看其中是否存在逻辑漏洞。 P68

也有可能,他们根本没有预料到这些遥远的殖民地的气候会与欧洲截然不同。 P69

比如计算2+26,如果是把26加到2上面,孩子们需要数上很久,但如果是从26开始数2个数,计算就会快上很多——而对于老师来说,难处就在于说服孩子们把两个数字换位置以后进行相加,两者所得到的答案是一样的。 P70

但是,如果我们进入了一个这些原理不再适用的数学领域呢?在这种情况下,我们不得不开始努力思考这些原理都引起了哪些连锁反应。 P71

这是自然数的一个很重要的特性,但它并不适用于数学的所有领域。 P72

这就是费马大定理的主要内容。 P73

? 给一个数字加上另一个数字x,又减掉这个数字x,你会得到原来的数字。 P74

(最近的一个研究表明,小学生常常在相关的问题上犯错。 P75

在我们进一步谈论公理化的内容之后,我们会重新讨论这个问题。 P76

解:我们从正中间的格子开始。 P77

给无畏者的问题那么,规则不变,下面这个4×4的表格又该如何涂色呢?这个表格恰好有4种成立的涂色方案。 P78

因为整个制作过程十分复杂,千层酥素来以难做著称。 P81

就我个人而言,我倒不觉得做千层酥有那么复杂,只要严格遵循食谱所写步骤去做就可以了。 P82

告诉别人你跑过马拉松,与告诉别人你是数学家多少有些类似——有些人会觉得你太了不起了,另一些人会觉得你疯了——怎么会有人想去做这件事?意义更多地在于过程本身,而不只在于抵达终点。 P83

然后,更加奇怪的事情发生了,另一个人偷偷把一张10英镑的钞票放进了你的口袋。 P84

这个过程被称为数学证明,很快我们就会看到它具体是什么样子的。 P85

如果正确答案是100,他们很可能会得到-100的错误答案。 P86

“为什么?”因为不然的话,你就会摄入过多的糖,然后你就会睡不着。 P87

数学是我认为可以用来探索那些问题的答案的最让人满意的方法。 P88

事实上,在很多时候,你会发现某个有充足“证据”的假设,并认为它很可能是正确的,于是你决定坐下来试着用数学方法来论证它的正确性,结果却发现它完全是错误的。 P89

试一下24。 P90

如果A能够被6整除,并且6能够被2整除,那么A就能够被2整除。 P91

以下是一些你可以试着应用这种传递性的其他关系。 P92

因此我们得出结论,即某人是另一人的母亲这件事并不具有传递性。 P93

就像你必须离开舒适的家才能登上飞机去看世界一样。 P94

一个重要性较小的结论被称为“辅助定理”或“引理”(lemma),一个中等重要的结论被称为“命题”(proposition),一个相当重要的结论被称为“定理”(theorem)。 P95

直到100年后,这个猜想才最终被格里戈里·佩雷尔曼证实。 P96

所以A=m×C,其中m为自然数。 P97

3. 因为经过三维空间中的任意三点的平面有且只有一个,而经过三维空间中任意四点的平面可能并不存在。 P98

也许听起来不像,但这个问题其实是一个真实存在的数学问题。 P99

3. 将烤箱温度设定为180°C,烤20分钟,或烤至蛋糕定形且呈金黄色。 P100

我小的时候对食用色素过敏,因此我的父母出于对我的爱研究出了如何在不使用那些可爱(或可怕)的色彩鲜艳的果冻粉的前提下制作果冻。 P101

在一个普通蛋糕不适用的情境里,它解决了我面临的困境。 P102

无面粉巧克力蛋糕通过省略来创造假设我们希望“证明”这件事:你必须把水烧开,然后才能拿它来泡茶。 P103

假设n是一个整数,并且n2是奇数。 P104

现在我们知道的是,a2是某个数字的两倍,也就是说它是一个偶数。 P105

现在我们发现a和b都是偶数。 P106

你也许希望证明做面包必须用到酵母。 P107

3. 对于确定的圆心和半径有且只有一个圆。 P108

偶尔,他们觉得自己已经用前四条规则推导出了第五条规则,但事实上他们总是在证明的过程中不小心用到了一些对他们而言不证自明,但实质上只不过是将第五条规则微妙地转换了形式的几何假设。 P109

这种新的几何学形式也被称作双曲几何。 P110

这件事会受到很多因素的影响,比如出租车司机会不会绕远。 P111

这是最主要的原因。 P112

当然,芝加哥的道路系统并不是一个严格意义上的网格状系统,它还包括以对角线形式穿越整个网格系统的大型高速公路。 P113

毕达哥拉斯定理是这么说的:斜边的平方等于两个直角边的平方之和。 P115

乌鸦知道沿对角线飞距离更短。 P116

还有第三条规则。 P117

你可以想象在这种情况下,我们会得到一个极其平扁、细长的三角形,其中y边和z边将三角形向两边撑开,因此x边必须非常长才能与它们连接上。 P118

更让人觉得愚蠢的是,有时你甚至不需要另选一条路线,前往某个你本来不需要去的中间地点——你只需要把本来的行程分成两段,甚至不需要中间下车,就可以用更少的钱到达目的地。 P119

? 有时,行程越远反而越便宜,比如从伦敦到伊利要比从伦敦到剑桥的车票价格便宜,而剑桥实际上是从伦敦前往伊利途中的一站。 P120

这就像我们试图理解事物背后的原理,而不只是记住这些规则或盲从食谱一样。 P121

GPS也让网络约会变得快捷许多。 P122

对于此类问题,还有一条无须言明的规则是:从A地到B地的距离不可能为负。 P123

有一个笑话是这么说的,如果你参加了一个数学研讨会,那么即便你什么也没听懂,你也可以提出一个听起来很像模像样的问题:“这可以推广到更高的维度吗?”。 P124

甜甜圈关于圆的不同推广想象一个甜甜圈,一个环形的甜甜圈,如下图所示。 P125

在使用这种方式时,我们需要更仔细地看待我们的甜甜圈。 P126

或者,你也可以想象用泡泡制作一个类似的形状:用一个沾着足够多泡泡液的大的泡泡棒在空气中拖出一个大泡泡——不是用嘴吹,而是边走边拖泡泡棒,在绕了一个圈之后,这个泡泡环就能头尾相接了。 P127

”“看歌剧很贵。 P128

我们已经讨论过多种关于距离概念的推广方式,由此我们得到了很多类似距离,但又并不完全符合距离概念的所有规则的事物。 P129

所以在我们现在讨论的体系里,不仅所有的三角形是“相同”的,而且三角形和正方形、圆形也是“相同”的:他们都属于只有一个洞的形状。 P130

数学思维 科学与自然电子书 第2张这说明,从拓扑学的角度讲,大部分字母都是一样的。 P131

想象一下你拿着一支“可以在空中画画的彩色笔”,你将一个盒子的内部空间填满了颜色。 P132

另外一个例子是关于用纸剪下某个平面形状然后将它们粘成一个三维的图形。 P133

现在,请想象一下用可以任意塑形的橡皮泥片代替纸做同样的事情。 P134

一个推广游戏下面这些形状有什么共性?正方形、梯形、菱形、四边形、平行四边形答案是它们都有四条边。 P135

不过,相对的两个内角度数必须相等,因为四条边的长度相等。 P136

推广不是一个自动化的过程。 P137

2. 搅拌蛋和糖。 P138

6. 将烤箱温度设置为180°C,在8英寸蛋糕模具上垫上烘焙纸,倒入混合物,烤制约45分钟,或直到混合物变成固体,且顶部形成酥皮。 P139

其实对于普通的食谱也一样,就像我们在第一章提到的:你可以选择一个食谱,然后根据食谱去购买所需的原材料,或者,你也可以在逛超市的时候买一些自己感兴趣的食材,看看你能发明出什么新菜品。 P140

这就相当于一种内在动机:你从一些给定的配料着手,看看你能用它们做出什么东西。 P141

数学也是如此。 P142

它没有解决伟大问题那么激动人心,所以人们对它的关注相对较少。 P143

这就好比你将起始点设定在城市中心,打算去巴黎圣母院看看,但你决定,与其参照地图直奔巴黎圣母院,不如听凭自己的直觉和喜好走上蜿蜒小道,边浏览边前行。 P144

举个例子,我们可以列出30的所有因数,也即所有能整除30的非负整数。 P145

我猜现在仍然有未被发现的昆虫、细菌和植物,但想想第一批看到鸭嘴兽的欧洲人吧,他们感受到的震撼实在难以想象。 P146

就像一个一圈只有3个小时而不是12个小时的钟。 P147

这个函数图像几乎是不可能画出来的,因为函数值会一直在0和1之间跳来跳去。 P149

拼图直接拼拼图与先看完成图你在玩拼图的时候,是先看盒子上的完成图,然后再对照着将拼图碎片放在合适的位置上,还是不看完成图,直接通过观察拼图碎片之间的关系把它们组合起来?根据完全图来拼拼图就像数学里由外在动机驱动的研究。 P150

事实上,我觉得说服小孩子们根据完成图拼拼图是很难的。 P151

我所做的只是阅读问题,写下所有与题目中的量有关的字母符号,然后扫一眼公式纸,找出包含上述这些字母符号的公式。 P152

但是,因为这些碎片是抽象的,所以我们就有无限个碎片可以用,而且每个都可以用无限多次。 P153

当然,很有可能这几种原因都有——如果你不享受运动的话,那么将完成一次马拉松作为目标并不会对你的训练有帮助。 P154

重要的是锻炼本身,以及享受这个锻炼的过程。 P155

它也包含两条与之相关的信息:总的英里数和总的耗油量。 P156

但总的来讲,如果方程的数量和未知数的数量一样,我们就很有希望将方程解出来。 P157

也许他真的有外遇?数学创新这一整章里,我一直在讨论两种数学创新的方法。 P158

所以一个数乘以它自己总是正数(或者0)。 P159

它就像一种全新的乐高积木。 P160

但数学家不喜欢解不出来的问题。 P161

3. 放进冰箱。 P162

也许对你来说,佳发蛋糕本身就是一种基础配料,你会直接从超市买一包回来。 P163

我第一次用到黑砂糖是在我准备做姜汁蛋糕的时候,我不得不特意出门购买这种糖,因为我的厨房里没有。 P164

所以我们知道的关于这个数字的全部信息就是:i2=-1.你的第一反应也许是反对:但是并没有这样的数字存在!但更接近事实的说法是,原来并没有这样的数字,不过现在我们发明了一个。 P165

? 某些把积木组合起来的方式。 P166

除非你想做的是一辆非常大的车,那样的话你就得用最基本的积木来拼装车轮了。 P167

之后你可以看看用这些基础构件还能拼装出什么东西,或许是一辆皮卡车,又或许是一艘火箭飞船。 P168

? 如果a为任意整数,那么0+a=0。 P169

结果有一支球队意识到他们的女队员人数比所有其他球队都多,于是在整场比赛中,他们只需要让全部队员都守在球门口就能赢了。 P170

而如果我们要使用乘法运算构造新的数字的话,那么数字1就没有用了,因为任何数字乘以1还是它本身。 P171

这个关于公平的命题也被称为阿罗悖论。 P172

你也许不同意这些规则,但你并不能(在理性上)拒斥规则被实施这个事实。 P173

数学关乎剔除事物中主观人为的部分,让事情只遵循逻辑运行。 P174

有理数是将整数写成a/b的形式得到的,其中a和b都是整数(正整数或负整数)。 P175

很好。 P176

第二个定义可以被视为“相对公平”,因为每个人都在对比自己和别人分得的蛋糕分量的大小。 P177

不管用什么方法在n个人中分一块蛋糕,每个人对每块蛋糕占整个蛋糕的比例也肯定都有自己的想法。 P178

小孩子对于那些他们不理解的事情好像要比我们更容易感到困扰。 P179

但关键在于,如果我们不以一些假设作为起始点,我们就无法向下推断演绎出其他的一切。 P180

现在我们可以推导出Z了吗?实际上,我们认为Z为真仍然只是因为我们相信:D.如果A和B和C都为真,则Z一定为真。 P181

就像你不会把盐和胡椒算作食材的一部分,因为它们太基本了。 P182

在我上学的时候,这是一个显而易见的事实,甚至不值一提。 P183

争论的焦点在于,两个婴儿是的确不幸地死于婴儿猝死症,还是一切并非巧合而涉及人为因素。 P184

严格地讲,这一事实告诉我们的是,乳腺癌在同一个家庭中不同成员身上发病的概率并不是独立事件。 P185

直到2003年,莎莉·克拉克已经因谋杀自己的两个婴儿被判入狱3年,这项指控才被最终推翻。 P186

如果你研究数学更多地受外在动机而非内在动机驱使的话,这就是一个很大的障碍。 P187

首先,我们宣称我们有一组“物体”。 P188

结合律对于任何物体a、b、c,以下等式都必须成立:(a。 P189

E=a ,且 E。 P190

a=E如果我们讨论的是数字的加法,那么逆元意味着什么?在这种情况下,单位元是0,所以对于任意数字a,我们需要找到数字b,使得a+b=0,且 b+a=0如果这句话对你来说太抽象了,不妨试试代入具体的数字,比如2。 P191

? 整数集合,二元运算为加法是一个群,但整数集合及其乘法不是,因为后者没有逆元。 P192

我们也可以对一圈为任意小时数的钟,也就是n小时钟的做这个运算。 P193

我们会发现,2×2的矩阵,二元运算为加法就是一个群。 P194

(我们一般以对折后,图形的两半可以重叠来解释反射对称,但你也可以按照图形翻转180°后仍和原来的图形一样来理解。 P195

一个反射对称的逆元就是沿同一条线再次翻转——如果你以同样的方式翻转两次,你就回到了起点。 P196

2. 加热牛奶或奶油直到锅边出现泡泡。 P197

注意,不要等到蛋奶糊的浓稠度已经达到你期待的程度时再关火,因为关火之后,锅中的蛋奶糊还会继续受热,这样你的蛋奶糊就可能会因为煮过头而凝固。 P198

这就是做蛋奶糊让我觉得很兴奋又有点儿畏惧的地方:你必须在很短的时间内做出自己的判断,并且你很难让机器人来代替你做这件事。 P199

也就是说,不需要依赖于想象力、猜测、运气、直觉、复杂的解释、信仰、勒索、毒品、暴力等,你就可以解决问题。 P200

2. 对概念进行理想化处理,着重探讨不同概念的相似部分,从而使得对不同概念的同时比较和研究成为可能。 P201

在数学中,你需要做的就是不断地剔除和忽略,直到你不再需要做其他,只需要应用纯粹、明确的逻辑规则进行思考。 P202

那么,这个袋子里有多少个苹果?问题3中的两个小问题都可以写成一组方程:x=2yx–10=3(y–10)对于这两个问题,也许你可以不用特意写出方程组就能直接心算出答案,那么下面这个问题呢?你可以心算出这个问题的答案吗?篱笆上搭着一条绳子,它在篱笆两面落下的长度相同,并且这条绳子每英尺重1/3磅。 P203

那么数学怎么处理它呢?忽略它。 P204

三角学使得理解三角形变得非常容易。 P205

这和我们之前描述过的阿罗悖论不同,阿罗悖论证明了为什么选举制度不可能是公平的,而这次我们要证明的是民主作为一种政策制定系统是无效的。 P206

例如,如果你相信:A. 所有的数学家都很聪明。 P207

所以我们现在用以下三个说法来举个例子:A. 大学教育应该是免费的。 P208

)我们现在来看一下大多数人的想法是什么。 P209

在情况紧急、时间有限的情况下,重要的是尽快做出决定,而不是不惜一切代价做出一个准确的决定。 P210

这个过程不仅很慢,而且很无趣。 P211

逻辑太死板在一个充满随机性的不确定的世界里,逻辑太死板了。 P212

比如,当医生告诉我们手术成功率是99%的时候,我们通常就会做出“做手术”这个决定。 P213

为了做到完全理性(演绎封闭性和内部一致性),我们似乎要么必须相信一晚上喝多少品脱啤酒都可以(这听起来完全不理性),要么必须相信绝对不可以喝酒。 P214

问题是,日本的利率增减都是以0.25%为单位的,所以日本银行只能以0.25的倍数来调整利率。 P215

但行刑日也不可能是周六,因为如果周五我还没被处决,而且周日又被排除了,那我就肯定猜到了行刑日是周六,这样我就再次预料到了行刑日期,所以周六也不可能是行刑日。 P216

比如:? 一个理性人理应相信地球是圆的。 P217

让我重复一遍:我相信清楚地知道你相信哪些事是一件好事。 P218

1品脱(英)≈ 5.6826分升。 P219

幼年时期的孩童并不是很需要数字。 P221

它可以被看作实际生活问题背后的理论。 P222

应用数学与实际生活更接近,但纯数学是数学的核心部分,就像就算你拥有车轮部件,你也不可能不使用“纯粹的”乐高积木搭建技术来搭建一样。 P223

这类问题引出的新问题是,如何解出既包含量也包含它们的变化率的方程。 P224

数学之于世界就像范畴论之于数学。 P225

它的目的是给数学归类。 P226

2. 将步骤1重复两遍,确保最后的步骤是抹一层意式白酱。 P228

针对不同水平的烹饪者,食谱可能会很不相同。 P229

他答道:“因为你不害怕跟又高又帅的男生讲话。 P230

同样地,范畴论也强调作为研究对象的事物所处的具体情境,而非只研究事物本身的特性。 P231

有些人会害怕,然后很快抽身离开;另一些人则会立即试图证明他们自己是多么“聪明”;还有一些人则试图藐视我。 P232

他:你在哪里拿的博士学位?我:剑桥大学。 P233

比如某个人可能既是业务经理,也是莎莎舞老师。 P234

人们在不同的情境下可能会表现得非常不同。 P235

我和世界范围内的许多范畴论数学家建立了深厚的友谊,虽然我和他们中的大部分人从未在同一个城市、国家,甚至同一个半球生活过。 P236

? 在整数(……-3、-2、-1、0、1、2、3……)的情境里,5有加法逆元,就是-5。 P237

在下一章我们会看到,范畴论凸显情境的方式是强调事物之间的关系而非只是描述它们各自的固有特性。 P238

而学生们通常比我想象的高很多,因为在我与他们接触的时候,他们一般在教室里坐着,只有我自己站在讲台上,并且我是权威的一方。 P239

然后我意识到,他现在站得离我很近,因而我终于看清了他球衣上的字:阿森纳。 P240

你会发现你可以一直涂下去,哪怕纸带本身已经翻了一面也不会造成阻碍,并且最终你会回到起点。 P241

)所以,对于拓扑学而言,莫比乌斯环是一个有趣的工具,但它本身并不是一个激动人心的概念。 P242

你可以用跑一圈的方式来画这个圆。 P243

2. 如果减去8,则结果是负的。 P244

我们可以用很多不同的方法来推广这个情形。 P245

那么如果我们尝试做乘法呢?我们已经知道了,i×i=-1,而-1不是虚数。 P246

这有点儿像负数乘以负数总为正数,而负数乘以正数总为负数这个规律。 P247

这听起来可能有些抽象——它们到底是什么?但不管它们到底“是”什么,我们都可以用它们进行适用于实数的加法和乘法运算;除此以外,我们现在还可以解出所有的二次方程,即便这些方程式本身只包含实数。 P248

你可以把解代入方程看看它们是否正确,只要注意在进行复数相乘时保持头脑冷静即可。 P249

我们将会看到,范畴论是通过筛选出事物之间我们真正感兴趣的那些关系并强调这些关系来实现其研究目的。 P250

你对这个食谱的第一反应也许是:“一杯水?多大一杯?”用杯子作为度量标准的食谱似乎已经过时了,但其实这是一种很聪明的描述方法,因为只要所有的原料都用杯子度量,那么杯子有多大就无关紧要了——你只需要用同一个杯子量每一种原料即可。 P251

而到目前为止,我已经描述了好几种非数字的数学对象,现在我们该聊聊既非数字也非代数方程的数学对象了。 P252

你可能会认为这正是数学的死板之处。 P253

范畴论所研究的关系实际上被称为“态射”(morphism),之所以创造出这样一个与众不同的用词,是因为它并不完全等同于一般意义上的关系。 P254

? 从一个集合到另一个集合的映射。 P255

保罗·埃尔德什是20世纪一位特立独行的匈牙利数学家。 P256

数学家将此类事物称为“泛性质”(universal property)。 P257

还有一些家谱可能会用另外一种线型或符号表示婚姻关系。 P258

我与他们始终保持着一种亲密的关系,并且这种关系一直延续到今天。 P259

就像我和我的钢琴老师一样,这也代表了一种亲缘关系。 P260

这种方法最强大的地方在于,它将所有的事物都几何化了,这就意味着我们可以运用人类另一个重要的认知功能——视觉思维来思考。 P261

你也许很快就会遇到一些有趣的问题:? 每个人都是他自己的朋友吗?(或者,每个人都是他自己最大的敌人?)? 如果某人是你的朋友,那你必须也是他的朋友吗?? 你朋友的所有朋友一定都是你的朋友吗?(脸书就认为答案是肯定的。 P262

? 如果你很受欢迎,那么代表你的那个点就会发散出很多条线。 P263

在上述关于友谊的例子里,等价关系对应的是对上述三个问题的答案均为“是”。 P264

1. 不管我们谈论的是何种事物,总有A=A。 P265

一旦它们被摞成一摞,它们看起来就没有那么杂乱,也很容易被搬来搬去了,但我认为,这种做法破坏了它们最“自然”的几何形态。 P266

其中小写字母表示的是立方体的表面(在下图中用双箭头标明),大写字母表示的是立方体的边(在下图中用单箭头标明)。 P267

实际上,这个表达式还有其他的自然几何形态,比如以如下所示的“线”为部件的形态:要解释这些线是如何与立方体的部件一一对应起来的就更困难了,但也许你能直接看出等式左边的线状图和等式右边的线状图是“一样”的,因为假如这些线真的是两端被固定住的绳子的话,那么你直接用手拨一拨它,就能让它从左手边的图案变成右手边的图案。 P268

有一个理论认为数学有三个分支:代数、几何和逻辑。 P269

如果一张地图画得很详细,那么它可能就会标注出哪些道路是单行道,这样的话,从A到B的路线就不一定是可逆的了。 P270

g ° f就是我们用来表示从A到C途经B,即先走f再走g这条路线的简化符号。 P271

你可以先乘坐前一列火车,再乘坐后一列火车从伦敦去往谢菲尔德。 P272

在范畴论中,或者说在整个数学领域,这种先做一件事然后再做另一件事的过程被称为“复合”(composition)。 P273

范畴的公理化就像我们在第8章里定义群一样,我们也可以通过公理化来定义范畴。 P274

事实上,在范畴论中,我们有时会用“从A到B的箭头”来进一步强调这种方向性,并提醒我们自己我们是用包含箭头的图示来有效地表示这些关系的。 P275

这是一个信号,表明我们已经在讨论一种更高层面的抽象或推广——每样事物都提升了一个维度。 P276

另一个范畴是这样的,它包含一个不是恒等箭头的箭头,这个范畴画出来是这样的:你也许会觉得把恒等箭头画出来好像没什么意义,因为它们总是存在的。 P277

因此我们通常会这样画这张图:很快我们就会看到这种“去杂乱”的做法和我们在研究30的因数时简化格子图的方法十分类似。 P278

在一个只有一个元素的范畴里,任何箭头都是可复合的,因为箭头的头和尾总是相接的。 P279

只有当a=b时,二者才能同时成立,而在这种情况下,我们就有一个从a指向a的恒等箭头。 P280

这种由物体和箭头组合而成的优雅结构带来的无穷可能性实在令人惊叹,它在很大程度上激发了我们用新的方式思考问题的灵感。 P281

? 两个集合,以及一个从一个集合到另一个集合的函数。 P282

再将冰激凌倒在树莓之上,砌成圆顶状,将蛋糕表面最外围一圈的位置预留出来。 P283

火焰冰激凌可不只是一道甜点——它是科学的结晶。 P284

事实上可能建了还不到一半,它只是这座建筑的某个结构的一层外壳。 P285

这很重要,因为它能帮助我们将某些结论从一个应用场景推广至另一个与前者稍有不同的应用场景,只要我们知道它的基石和支撑结构是什么即可。 P286

因此6现在是质数了,因为它不再能被3整除了。 P287

我甚至不确定自己是否真的欣赏它宏大而雄壮的美,我只知道它很大,而且很有名。 P288

而这座建筑真正的神来之笔正是它的第三个拱顶,一个隐蔽的、结构性的拱顶,它使前面两个拱顶得以有机结合。 P289

现在,我十分欣赏圣保罗大教堂。 P290

我已经忘记我这么做的具体原因了,也许是因为它太丑了,我不想再看到它了吧。 P291

我撕掉了旧标签,于是发现剩下的是:一片透明的塑料。 P292

因此这个二次方程有两个解。 P293

这句话实际的意思是,如果两个东西相乘结果为0,那么其中一个肯定为0。 P294

如果你足够富有的话,你也无须在意你每天究竟花了多少钱,虽然现实中的不少有钱人显然仍然对这件事很在意。 P295

范畴论的初衷是在不同的数学世界之间建立联系,以及发展一些适用于不同世界,且不需要付出额外努力就可以直接使用的技术。 P296

实际上,连数学家都对这种表述是否奇怪存在分歧。 P297

(他是带着他特有的那种愉快的神情说这些话的。 P298

这个思维过程也可以反过来,即从简单结构出发,精心构建起更为复杂的结构。 P299

我们已经讨论过,最小的群只有一个元素,也即只有单位元。 P300

如果我们先旋转180°再旋转0°,结果也是一样。 P301

这意味着你首先要准备两种不同颜色组合的小巴腾堡蛋糕。 P302

所以3×3=9,也就等于1,以此类推。 P303

对于更具普遍性的结构,范畴论也会做类似的事情。 P304

但“相同”又是什么意思呢?这将是我们下一章的主题。 P305

3. 把面团放在撒了可可粉的烤盘纸上压平,然后擀得尽可能薄。 P306

但如果我们还想制作纯素食的版本,或者无糖版本,或者低脂版本呢?所有这些都是可能的,但是我们的成品会越来越不像真正的布朗尼。 P307

当然,讨论问题的情境是很重要的,因为有些事物在某些情境中可以被视为相同,但在其他一些情境中则不能。 P308

是的,我买了很多,因为我觉得它们既好吃又管饱,而且非常健康。 P309

再一次,两者并不是完全相同的过程。 P310

范畴论的目的之一是确切定义“在某种程度上相同”的各种不同解释的可能含义是什么,因为在不同的情境中,有用的或者有关的关于相同的解释是不同的。 P311

在范畴论里,这个过程有时是反过来的——我们不再问在某个特定的情境中什么算是“相同”的,而是先找到我们希望什么事物是相同的,然后问怎样的情境能让它们相同。 P312

不过,纳尔逊原本想要发出的信号是:英格兰相信人人都能恪尽职守。 P313

因为“期盼”在旗语手册里已经有一个对应的动作了,而“相信”则需要用旗语逐个字母地拼写,过于麻烦和耗时。 P314

用很多点拼贴成一个曲面是不可能的。 P315

现在,假设我们可以给每块巧克力蛋糕称重。 P316

这就造成了一个问题。 P317

显然,类似这样的箭头已经完全不像“相同”了,因为我们有3≤10,但显然10完全不像3。 P318

并且我从来没有因此生过病(至少目前为止还没有)。 P319

对我来说,经过冷冻又解冻的鸡蛋液就和普通的鸡蛋液一样。 P320

但当你开始研究比数字更复杂的事物时,两种说法的差别就体现出来了。 P321

蛋奶糊用不同方式组合事物带来不同结果有些食谱会要求你分离蛋白和蛋黄,有时是因为你只会用到蛋白,比如做蛋白酥皮,或者只会用到蛋黄,比如做蛋奶糊;还有一些时候是因为你会分别用到这两样食材,让它们在最终的成品中和谐共存,比如柠檬蛋白派,其中蛋黄用来做馅料,蛋白用来做蛋白酥皮。 P322

但其实你也可以先搅拌糖和鸡蛋,然后加黄油(不过如果黄油没有完全融化的话,搅拌的效果就没有那么好了)。 P323

树状图是另外一种生动表示一个情境的主要结构的方法。 P324

在我们熟悉的数字世界中,加法遵循这条法则:(5+5)+ 3=5 +(5+3)我们可以对此进行推广,用符号替代数字,以表示这条法则对于所有数字的加法都适用:(x+y)+ z=x +(y+z)但对于蛋奶糊来说,我们刚才描述的规律是:(蛋黄+糖)+牛奶 ≠ 蛋黄+(糖+牛奶)这个表达式中的加号并不完全表示做加法,而这正是整个讨论的目的所在——这是一种比单纯将事物凑到一起更为复杂的组合过程,也说明了为什么这两种“加法”不能等同视之。 P325

当我们提炼出这个结构,并把它转化为带箭头的树状图时,我们就相当于把一个代数问题转变为一个清晰地整合了所有信息的几何形状。 P327

这些图形都可以被推广,用来表示包含更多的叶节点的树状图,当然,你最终得到的图形本身也会变得越来越复杂。 P328

第三个集合类似于原集合,是因为它所包含的数字是原集合内的数字的相反数。 P329

这些集合构成了这样一个情境,其中关于“相同”这个概念的错误理解让太多的事物可以被视为相同。 P330

3. 把水果碎平铺在烤盘内,需要的话可以再放一点儿糖。 P331

我很喜欢上层松脆的奶酥和下层柔和的水果碎因稍稍融合在一起而形成的那层口感奇妙的夹层。 P332

比如,数字0是唯一一个加上它之后任何数字都不会发生改变的数字。 P333

让我们来试试这个:我在想一个数字。 P334

那么,这个数字是多少?也许你会很快回答道这个数字是2。 P335

因为它和0遵循同样的规律,所以我们知道,对于任意数字x,都有:Z+x=x因为该等式对于任意数字x都成立,所以我们可以让x=0,得到:Z+0=0而我们知道给任何数字加上0,这个数字都不会改变,因此等式的左边就等于Z,于是我们得到:Z=0换句话说,这个试图充当另一个0的数字也只能是0。 P336

泛性质研究的一个重要方面是找到一个能独一无二地定义某事物的特点。 P337

范畴论也试图找到每一个数学世界的“北极和南极”,即便那个数学世界的其他地区并不遵循同样的规律,因为这些极端情形能够启发我们理解这个世界的其他部分。 P338

我们并不只是在说某物很大,“大”只是一个性质。 P339

因此,如果我们把箭头想象成是有方向的,那么始对象就类似于“起点”,而终对象就类似于终点。 P340

对于一个包含所有可能的集合及其所有可能的函数的范畴,始对象就是空集(也是最小的集合),而终对象是任何有一个元素的集合——它绝对不是最大的集合。 P341

如果集合A是一个空集,那么这种机器同样有且仅有一种。 P342

但我发现,如果我在威士忌酒吧向酒保要“念不出来的阿德贝哥”,他们总能知道我说的是哪种酒。 P343

其次,谢菲尔德有交响乐团,而且它自诩为“南约克郡最好的业余交响乐团”。 P344

如果某个事物的出现对于范畴论学者来说是非常自然而然的,那么它看起来就带有一种本质性的、非强迫性的特征,并且它看起来应该在某种情境下具有泛性质。 P345

此定义带来的一个结果是群A的单位元必须对应于群B的单位元。 P346

对于数学里的很多事物来说,我们都需要在“最大”和“最实用”中进行权衡。 P347

埃尔德什极简主义帮助我们看清楚什么是什么显然,保罗·埃尔德什生活中的所有事情都是为他的数学研究服务的,他没有与此目的无关的东西,也不做与此目的无关的事情。 P348

有很多作曲家只写过一首小提琴协奏曲,比如柴可夫斯基、门德尔松、勃拉姆斯、贝多芬、西贝柳斯和布鲁赫。 P349

无论是从字面意义还是引申意义来说,他都是一位“行走的数学家”,自始至终带着他只装有必需品的手提箱从一地走到另一地。 P350

没有规则。 P351

我们看到,通过“忘记”群的结构,我们得到了集合,而现在我们有了从一个集合开始“自由”地建立一个群的概念。 P352

让我们先来将这个问题转变为一个类似的问题:7+7就等于14,不是吗?没错,除非你讨论的是关于一个有12个小时的钟的问题,在那种情况下,7点钟过7小时是2点钟:7+7=2但如果我们讨论的不是钟的问题呢?假如你在思考的是一周中有几天的问题。 P353

但这种不算数一般而言只是暂时的。 P354

但它是最小的吗?不是。 P356

我的朋友们每周五都会得到5便士或10便士的零花钱,于是他们就会去镇上的甜品店用那一大笔钱买一大包甜食。 P357

2.从A到B的距离与从B到A的距离相同(因为要么它们是相同的地点,那样的话距离就为0;要么它们是不同的地点,那样的话距离就为1)。 P358

另外一种检验这个不等式的方法是反证法。 P359

答案是肯定的,只不过这意味着其中所有的事物都等同于其他事物。 P360

因此,如果我们试图从范畴A对应到上面那个小的范畴,那么我们别无选择——A中的每个元素必须对应到上面那个范畴所拥有的唯一元素x,A中的每个箭头必须对应到上面那个范畴的恒等箭头,因此上面那个小范畴就是终对象。 P361

无论第一个范畴有多大,这个结论都是成立的。 P362

它让你有机会做一件数学家通常会非常感兴趣的事——通过寻找共性来同时研究一系列不同的事物。 P363

我们也可以从数字1开始,通过不断加1和减1的方式得到所有的整数。 P364

麦克兰恩的主张是,不仅每样事物都可以通过某种泛性质来理解,而且每样事物都可以通过同样的泛性质来理解。 P365

因此,范畴论的目的是变困难的数学为简单的数学。 P366

数学事实比其他种类的事实有一种更高的地位。 P367

你不需要考虑你与他们的关系的性质、他们当时所承受的压力、他们可能喝醉了的事实,或是他们过去的经历对他们现在行为方式的可能影响。 P368

这里有一个关于一个看似无关紧要的事实的纯粹的形式证明:任何命题都蕴涵(imply)它自身。 P369

以下是关于任何命题p都蕴涵它自身的完全严格证明,其中我们用到了形式逻辑的公理。 P370

真理的这三个方面或三种形式之间的相互作用十分复杂,我们可以用一个文氏图来表示它们:我将每个重叠的部分进行了标注,所以我们有:KUB:我们知道、相信并且理解的事物。 P371

比如,我并不真的知道重力是如何起作用的,但我知道并且相信它一直在起作用。 P372

KU:我们知道和理解,但并不相信的事物。 P373

? 我的名字是郑乐隽。 P374

以下是一个关于知道与理解的区别的数学例子。 P375

有人偷了你的钱,而之后又有人把一张10英镑的钞票放进了你的口袋。 P376

这是因为到港航班的延迟……”当然,还有那个经典笑话:小鸡为什么要过马路?有时候,问“为什么”就像是在问某个故事的寓意是什么一样。 P377

x的加法逆元被定义为-x,也就是说:-x+x=0并且符合这个特性的数字总是只有一个。 P378

如果我用“在某数前面加上负号就相当于将其转向反方向,而如果把它反转两次,它就又回到了原来的方向”这样的话来论证,你会觉得更有说服力吗?这个论证完全不数学,但是可能会更有说服力。 P379

但根据所有这些基于实数的公理所进行的证明,并不是在试图证明为什么这些事情成立。 P380

举出上述这些例子的目的是想说明,如果你想知道为什么某个数学事实成立,那么数学上的证明通常不能真正说服你它为什么成立,而只能说服你它确实是成立的这个事实。 P381

为什么我们要翻译呢?为什么不就坚持那种足够有启发性、说服力的陈述呢?1. 启发很难界定。 P382

那么,我们如何做到这一点呢?如果我已经证明了某事成立,我怎样才能相信它成立呢?这就好像除了根据证明过程进行一步一步的推导,我还能找到其他对我来说足够有启发性的理由来相信它。 P383

其实,这个过程更像一个真理之谷,而非真理之圆;我不推荐直接从(你的)相信飞到(其他人的)相信。 P384

”于是你就得到:x=5 – 2所以:x=3这个过程是正确的,但并不是很有启发性。 P385

但是否每个数学事实的背后都有一个具有启发性的解释呢?也许并不是,就像生活中不是每件事都有一个足够有说服力的解释一样。 P386

老话说,“知识就是力量”。 P387

所以,首先我要感谢我的朋友们以及我在范畴论这个研究领域的合作者们。 P389

感谢我在Profile出版公司的代理人黛安·班克斯、尼克·希林和安德鲁·富兰克林,以及在Basic Books出版公司的代理人TJ·凯勒赫和拉拉·海默特。 P390

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