逻辑2019新版金岳霖

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他1914年于清华学校毕业后,以官费留学美国,后又游学欧洲,1925年11月回国,期间涉足簿记学、政治学、哲学等诸多学问,并对逻辑学产生浓厚兴趣。 P2

这即使在今天的其他逻辑学书籍中也很少能够获得。 P3

预备这本书的困难也就因这感觉而增加,有时候我觉得我根本就不应该写这样一本书。 P4

第四部的材料有好些地方重复。 P5

l. 心理学或知识论方面的问题。 P6

但我们不能因为在具体的世界里,各种现象有它们的关联,我们就不应该把它们区别为各种不同的学问的对象。 P7

我们要知道这里的各种名词与演绎方面的推论——无论旧式与新式——均没有多大的关系。 P8

3. 外延与内包的分别。 P9

主张内包逻辑的人几乎免不了以为外延逻辑根本不是逻辑,而是算学。 P10

这个问题详细地讨论起来,既费时间且费精力。 P11

这个名词是一时的创造,普通教科书里称为division,这实在是一种分类法,不过它的原则就是二分法而已。 P12

[书籍分 享V信 iqiyi114] (一)知识方面的先后问题。 P13

关于定义问题以后还要提出,但方才所说的这一层以后不再讨论。 P14

2. 主宾词的命题:传统逻辑里的命题都是主宾词式的命题。 P15

把命题限制到主宾词式,其不遵守此式者传统逻辑无法应付。 P16

“是”字表示在相当条件之下的一种一定的情形。 P17

(二)次级命题。 P18

(一)与(二)均从质着想。 P19

但既有此旧名词,最好是仍旧。 P20

传统逻辑中的直接推论有两部分,一即命题的对待关系,一为换质换位两法及其变态的推论法。 P22

两命题有下反对的关系,如果(一)可以同时真;(二)不能同时假;(三)由一命题之假,可以推论到第二命题之真;(四)由一命题之真,不能推论到第二命题之真或假。 P23

2. 表示命题的图形。 P24

说以A、B为例,我们可以画图形如下:此中1为/,2为/,3为AB,4为/。 P25

第四格之/究竟有否,此图没有表示,这一层比以上两圈的办法高明得多。 P26

(四)SOP此图表示有SP,那就是说有不是P的S或有S不是P。 P27

b.(一)I与O的关系为下反对的关系。 P28

c.(一)A与O,E与I的关系为矛盾关系。 P29

E与I同样。 P30

通常以下图表示A、E、I、O的关系:4. 以上表示A、E、I、O在事实上有那样的对待关系,现在我们要看看这些关系是否一致。 P31

(一)E与I既为矛盾,E假则I真;A与I既为差等,I真则A不定;所以E假则A不定。 P32

(三)I真,则A不定;A不定,则O不定;所以I真则O不定。 P33

(三)A假,则O真;O真,则I不定;所以A假则l不定。 P34

1. 换质与换位的定义。 P35

此处说“得一由原来的命题所能推论得到的命题”,因为换位后的命题与原来的命题不必相等。 P36

如果把SOP换位到PIS则第一规律虽遵守,而原位命题为否定换位命题为肯定,其质不同,所以有违第二规律。 P37

所谓完全的换质换位,不过是把不完全的换质换位再换一次质而已。 P38

)此中有换位换质命题,上面所未曾谈到。 P39

PIS与POS在对待关系推论中有下反对关系。 P40

SAP与/照以上说法,可以有三种不同的关系。 P41

在后一例,我们所要表示的就是没有真电报,所以“所有的正式电报是假的”而“所有的非正式电报也是假的”。 P42

三段论式的推论是两命题用其一以为媒介而推论到第三命题。 P43

c. “中词”是结论所无而两前提所共有的媒介词,此例中“人”是中词。 P44

O命题说一部分的S不是P。 P45

B. 三段论式的规律1. 教科书所列规律如下:a. 在一三段论式中,不但有而且只有三名词,即大词、中词与小词;不但有而且只有三个命题,即大前提、小前提与结论。 P46

(一)在前提中周延之名词,在结论中可以不周延。 P47

e. 如果两前提中一前提为否定命题,则结论亦为否定命题;如结论是否定命题,则两前提中亦必有一否定命题。 P48

有人以为只要一根本的原则即够,而此根本原则即亚里士多德的“dictum de omni et nullo”。 P49

格共有四,兹特分别讨论。 P53

[书籍分 享V信 iqiyi114] (二)大前提一定是全称命题。 P54

c. 证明:(一)两前提中必有一前提为否定命题。 P55

c. 证明:(一)小前提必为肯定命题。 P56

如前提中有一为否定命题,则结论亦为否定命题;如结论为否定命题,则宾词周延;宾词为大词,如大词在结论中周延,在大前提中亦必周延;但大词在此格为大前提之主词,主词周延,必为全称命题。 P57

D. 以上四格根据于中词在前提之位置中词在前提中仅有此四种不同的位置,所以只能有此四格。 P58

a. 规律:(一)小前提须肯定。 P59

结论在此格为“S——C”这一命题,对于此命题问质不问量。 P60

此处的结论为“C——P”这一命题。 P61

这个新说法有以下诸点值得我们注意:a. 表示第一、二、三格的规律不必以传统的方法证明,可以用新说法表示同样的情形。 P62

照此似有三十六可能,但仍有限制。 P64

(二)请注意:小前提在第二格可以是A、E、I或O;那就是说照以上新说法,小前提的质与量毫无限制。 P65

变更的方法不一,可是在本书内我们可以不必谈到。 P66

2. 前后三段论式。 P67

(二)最后的前提可以是否定,其他均须肯定。 P68

甲种堆垛推论中之其他前提均为大前提,大前提须全称,所以它们不能特称。 P69

第一前提当然不能特称,可是可以是否定命题,其他前提既均为小前提,在第一格三段论中当然不能否定。 P70

此命题的前一部分称为前件,后一部分称为后件。 P71

本节的A段提出充分条件的假言推论,B段提出必要条件的假言推论。 P72

或,如果甲是乙,则丙是乙;丙不是乙,所以甲不是乙。 P73

c. 以上所举三式各表示这两条规律。 P74

b. 否认前件的办法;如果甲是乙,则甲是丙;无结论。 P75

为第二格三段论,无毛病。 P76

我们可以把这一部分的假言推论加入传统逻辑。 P77

所以丙不是丁。 P78

a. 否认前件即否认后件,而承认前件不能就承认后件。 P79

b. 承认前件:除非甲是乙,甲不是丙;甲是乙,不能得结论。 P80

用三段论表示如下:所有的丙都是乙,甲不是丙;无结论;如得“甲不是乙”一命题,则有大词周延之错。 P81

b. 结论为否定命题的析取推论,这一种的小前提为肯定命题,例如:甲是乙或是丙;甲是乙,所以甲不是丙。 P82

但我们也可以有析取命题为小前提,而得一否定命题的结论,例如:甲是乙,或是丙,或是丁;甲是丙或是丁,所以甲不是乙。 P83

乙与丙既不不相容。 P84

甲或者同时不是丁等等,但无论如何甲不是丙。 P85

a. 甲是乙或是丙; a. 如果甲不是乙,则甲是丙;甲不是乙, 甲不是乙,所以甲是丙。 P86

此为否认后件的式。 P87

(批评见后)D. 二难推论二难推论是一种假言推论与析取推论联合起来的推论。 P88

这两个不同的前件联合起来,又为一代表两不相容而又彼此穷尽的析取命题。 P89

c. 复杂的承认前件的二难推论,例如:如果甲是乙,则丙是丁,如果甲是戊,则丙是己;甲或者是乙,或者是戊;所以丙或者是丁,或者是己。 P90

此例中的大前提也是一有两个不同前件,两个不同后件的假言命题。 P91

a. 否认析取命题中的可能是穷尽的可能。 P92

如果一件东西既不在它所“在”的地方动,也不在它所不“在”的地方动,而在它所动的地方动,则此例中的后件不是前件的必要条件。 P93

上面Protagoras所举的二难推论中最显而易见的毛病,就是引用两种不同的标准,一为法庭的判断,一为合同的条件。 P94

后一种错误与严格的逻辑似乎没有多大关系,是否能说它是错误也发生问题;但实际上在一个人的思想中或者发生这种错误的情形,提出来讨论一下不见得没有益处。 P95

一篇文章有时注重一段有一个印象,注重另一段又有一个印象,若以声音的高低表示注重之所在,一句话因声音的高低不同,而有意义的分别。 P96

几句话中有同样情形,毛病或者不显,错误比较容易发生。 P97

d. 普遍与特殊的混乱。 P98

”有时我们真会胡思乱想看甲与乙究竟有什么样的稀奇的关系。 P99

(四)乱引权威的错误。 P100

不仅A命题有此问题,其他E,I,O均有。 P101

第三态度是逻辑里的通常态度,四、五两态度则日常生活中亦常有之。 P102

设有以下命题:“如果你进城,请你把李后主的词带给我。 P103

这个问题要详细地讨论一下,别的意义不清楚的地方本书从略。 P104

这四个命题的解释如下:命题 言语的表示 公式的表示SAnP “无论有S与否,凡S是P” (SP=0)SEnP “无论有S与否,无S是P” (SP=0)SInP “有S是P,或无S” [(SP≠0)或(S=0)]SOnP “有S不是P,或无S” [(SP≠0)或(S=0)]此四命题既有此解释,则它们的对待关系如下:a. SAnP与SEnP的关系。 P105

(乙)SP存在,而/也存在。 P106

SAnP与SEnP俱真——S不存在。 P107

——真→(甲)S不存在,或(乙)/存在,而SP存在与否不定。 P108

S不存在,则两命题的后部分全真。 P109

如上面第三图。 P110

——假→(甲)S存在,而/不存在。 P111

SP既存在,S当然存在,S存在而/不存在,则SOnP的前后两部分均假,所以整个命题为假,如第二图。 P112

SInP=[(SP ≠ 0)或(S=0)]——真→(甲)S不存在,或(乙)SP存在,而/不存在,或(丙)SP存在,而/也存在。 P113

S存在而/不存在,/既不存在,SAnP为真。 P114

它们都是两命题而联之以“与”的复杂命题,它们的解释如下:此四命题的解释如上,它们的对待关系如下:a. SAcP与SEcP的对待关系。 P115

——假→(甲)S不存在,或(乙)SP存在,/不存在。 P116

SAcP真,则SEcP为假;SEcP真,则SAcP为假。 P117

——假→(甲)SP不存在,而/存在。 P118

其所以如此者,因为它们都肯定S存在,S既不存在,它们都是假的。 P119

此处所谓独立者,不过是无对待关系中之任何关系而已。 P120

第二图表示SAcP与SOcP同时假。 P121

它们不能同时真,可以同时假;由一为真可以推到另一为假,由一为假不能推到另一为真为假。 P122

第二图表示无S或主词不存在,所以两命题均假;第三图表示SP存在,所以SAcP为假,而SP不存在,所以SIcP为假。 P123

如果SAcP真,则SIcP必真,SAcP假,SIcP不定;如果SIcP真,SAcP不定,SIcP假,则SAcP必假。 P124

其他三可能中,没有它们同真的情形。 P126

如果能同时假,等于没有S,或S不存在;S不存在,则两命题的条件未满足,无真假。 P127

三图之中,没有同真的情形,也没有同假的情形。 P128

二者不能同真,不能同假。 P129

SIhP为真,则SAhP可以真,如第一图,也可假,如第三图;SIhP为假,则SAhP必假,如第二图。 P130

以上三解释之中只有一个说得通。 P131

1. 传统逻辑中换质换位的推论如下(以SAP为例):原来命题 换质 换位 再换质 再换位 三换质前四命题相等,后两命题也相等,但因第五命题是有限制的换位,后两命题与前四命题不相等,但虽不相等,而照换质换位的推论可以推论得到。 P132

无论如何,在传统逻辑的直接推论中,SAP与/不能同时真。 P133

用同样的方法我们也可以表示这两个命题否认非理性动物的存在。 P134

同时用以上的图示我们也可以表示以上两命题根本否认非宇宙的分子的存在。 P135

若仅从对待关系着想,不提存在问题,还可以说得过去;从换质换位的推论方面着想,不提存在问题,就说不过去了。 P136

换位后的命题无论是Ec也好,Eh也好,En也好,仍是真的。 P137

它们既相等,则/可以推论到/。 P141

此两命题相等,用不着再提出真假的条件,也用不着利用图式以表示它们的关系。 P144

它们既不相等,也不能有推论。 P147

这两命题相等,不必提出真假的条件,也不必提出图式。 P149

此两命题相等,当然可以彼此推论,也用不着用图式的方法表示它们相等。 P150

在此处我们要注意由/虽可以推论到/,它们有差等的关系,而由/不能换位到/。 P152

同时如果对待关系说得通的时候,A、E、I、O应作Ah、Eh、Ih、Oh解。 P153

现在许多人的办法,是把A、E两命题为不假设主词存在的命题,I、O两命题为肯定主词存在的命题。 P154

SAP从反面着想说没有SP,SEP从反面着想说没有SP。 P155

(三)SAnP与SIcP为独立,SEnP与SOcP同样。 P156

SEnP与SOcP同样。 P157

这样对待关系非常之简单,同时以记号表示命题,只要表示矛盾关系就行,所以也非常之便利。 P158

c. 以 A、E、I、O 为 An、En、Ic、Oc,则(一)A、E、I、O主词都有明确规定。 P161

1. 三段论的格式共有十九个,其中第一格之AAA、EAE、AII、EIO与第二格之EAE、AEE、EIO、AOO,无论A、E、I、O的解释如何,均没有错。 P162

兹以第三格之AhAhIh为例:b. 以 A、E、I、O 为 Ac、Ec、Ic、Oc。 P163

(二)设以第三格之InAnIn为例:以下第二图有SInP为假的可能,所以不能得SInP的结论。 P164

A、E、I、O的各种解释当然影响到“reduction”。 P165

a. 普通的三段论式可以说是一种传递质的表现。 P166

(三)命题也是如此。 P167

三段论的规律,尤其是各格的规律,颇有差不多成一串的“如果——则”的推论。 P168

(四)因有三条的理由,三段论式的实例中有“所有的人都有死”,“苏格拉底是人”,“所以苏格拉底有死”。 P169

乙,赵是人,钱是人,孙是人,李是人,等命题都是真的,而除赵钱孙李等等之外没有是人的东西。 P170

这是不是假言命题呢?这种假言命题与“如果我不打球,我就回去”,似乎不大相同。 P171

对于将来根本就说不上有以上解释的直言命题。 P172

E命题亦然。 P173

丙,赵是有理性的,钱是有理性的,孙是有理性的,李是有理性的,都是真的。 P174

现在的问题就是三段论究竟是“直言”的“推论”吗?如果传统逻辑所谓直言是以上的直言,而推论是有以上特殊意义的推论,我们至少可以说如果A、E、I、O是直言命题,它们彼此的推论不是传统的推论。 P175

真值蕴涵没有意义的关系,那就是说前件与后件在意义上彼此不必相涉。 P176

在讨论假言推论的时候,我们曾说表示充分条件的假言推论有三式,而三式之中有以下两式:a. 如果甲是乙,则甲是丙:甲是乙, 或甲不是丙,所以甲是丙; 所以甲不是乙。 P177

b式的大前提则不然。 P178

读者或者已经注意我们所“证明”的都是以上a种的假言推论。 P179

c. 名词的三段论或类的三段论似乎均同时也是命题的三段论。 P180

“或”字在这里这种用法,在中文似乎少见,举例不容易。 P181

至于为什么不容易变成表示名词的命题,在批评假言命题的时候,已经讨论过,此处不赘。 P182

但前一命题同时是表示名词的关系的命题,我们可以把它先变作假言命题,然后再变成三段论。 P183

这里“一定”两字是说姓张的与姓李的两人中必有其一;但这命题没有说杀人者一定是姓张的,也没有说杀人者一定是姓李的。 P184

诡辩家或者要利用它做诡辩的工具,治逻辑学者不必特别注意它,因为它的普遍形式不过是一种假言与析取命题相联合的推论而已。 P185

兹以例说明之:a. 如果甲是乙则丙是丁,如果戊是己则丙是丁;甲是乙或戊是己,所以丙是丁。 P186

2. 关于换质与换位:a. 为求与上面一致,A既是An,E既是En,则全称命题的换质说得通,全称否定的换位也说得通,全称与特称肯定的换位说不通。 P187

c. 表示名词的关系者很容易变成传统的三段论,仅表示命题的关系者不容易变成传统的三段论。 P188

本书对于传统的逻辑既有这样长的批评,而对于所谓新式逻辑没有批评,读者或不免发生误会,以为传统逻辑有毛病,而新式逻辑没有毛病。 P189

根据作者个人教书的经验,在未举逻辑系统实例之前,关于逻辑系统之种种问题不容易提出,也不容易讨论;此所以在第三部介绍系统,而在第四部讨论关于逻辑系统的种种问题。 P190

以下的符号不必有以下的意义,可是事实上我们给它们以以下的意义。 P191

但系统的推行既没有因此发生什么困难,我们也不必多所计较。 P192

但普通的“如果——则”的诸意义中有这里的“如果——则”的意义,同时这里的“如果——则”,在本系统范围之内,似乎没有不清楚的地方。 P193

每一命题均有号数表示,而证明所根据的命题仅写其号数。 P194

命题虽只有一套,而用法不只一样。 P195

我们虽欲以明文表示推论方式的引用,每次所表示的虽在明文范围之内,而那一次的表示不在明文范围之内。 P196

原书中有两个类似的基本命题,一引用于未解析的命题,一引用于命题函量。 P197

)(这命题说:任何命题蕴涵一真命题。 P198

在真值蕴涵的情形之下,前后两部分的p、q可以更换位置。 P199

本书不讨论这一点。 P200

为使推论的层次严谨起见,此证明利用2.05所表示的三段论原则,证明p1既蕴涵p2,p2既蕴涵p3,(8)行表示p1蕴涵p2蕴涵p1蕴涵p3,(9)行的结论是p1蕴涵p3,(10)行的推论是P3蕴涵P4蕴涵P1蕴涵P3蕴涵P1蕴涵P4,而此最后即为所要证明的命题。 P202

至于前件与后件单独地究竟为真为假与它们当然无关。 P203

)(此证与原书中的证明不同。 P204

)(此命题说:如果p不蕴涵q,则q蕴涵p。 P205

例如2.28与2.29可以使我们得“├:p·q·≡·~(~p /~q)”的结论。 P206

这不过是说在本系统的成文秩序中,排中律在前,矛盾律在后,这与它们彼此的重要问题没有关系。 P207

情形当然不同,因为这里的p、q、r、/、/、/,不必是传统三段论中的A、E、I、O那样的命题。 P209

而在这命题中的是蕴涵,是implication。 P210

A. 具一表面任指词的命题的推演1. 解释弁言。 P218

任指词一方面“定”,因为“x,y,z…”定指个体;另一方面“不定”,因为它们不定指某某个体。 P219

这里有能有意思与不能有意思的问题,本篇不提出讨论。 P220

传统逻辑中的 A、E、I、O,不是(x)φx、/这样的命题,但蕴涵关系相似。 P221

严格地说,只有那一命题才是AAA,这一命题不是,因为如果/是“A”命题,则φx不是“A”命题,而ψx的结果也不是“A”命题。 P222

可是,我们要知道,这命题前件中的两命题,哪一在前哪一在后,在本系统没有关系。 P223

)(此两命题中头一个表示相等有传递质,第二个表示相等有对称质。 P224

在“或”一方面,前部与后部相等;在“与”一方面,前件与后件不相等。 P225

)(此命题可以视为Disamis,第三格三段论之一式:有 φ是 χ,凡φ是ψ,所以有ψ是χ。 P226

2. 本段所选择的几个命题。 P227

)(这两个命题与10.27相似,不过前一命题表示蕴涵,后一命题表示相等而已。 P228

”)(以上命题可以说表示蕴涵有传递质,这个命题表示相等有传递质。 P229

)(此命题与10.5那一命题相似。 P230

我们可以说,说有x无论任何y,x小于y,等于说无论任何x,有y,x不小于y是假的。 P231

”此命题与11.42及10.5的不同处就是x与y无论代表一个体或不同的个体,它们总是两个个体词;此命题把φ、ψ两谓词分别地引用于两个体词,无论事实上分与合,前后两部分的真假值相等。 P232

)C. 具相同的思想的命题的推演1. 解释弁言。 P233

有些人的主张是把同一律的同限制到甲乙类,因为甲乙类的同不发生变的问题,而丙丁类的同免不了变的问题。 P234

根据以上的讨论“性质”二字,照A段的解释,就发生问题。 P235

)(这个命题说:如果x与y同,y与z同,则x与z同。 P236

)(这命题说:如果任何y与x相同,则φy是真的等于说φx是真的。 P237

P. M. 的作者对于“美国皇帝是胖子”这样的话,很费了一番解析的工夫。 P238

从这个例看来,原书中的“description”不便称之为摹状词,或形容词。 P239

如第一命题为假,则根本就没有《春秋》的作者。 P240

我们可以把它解释成“有美国的皇帝,而他不是胖子”;但我们也可以把它解释成“有美国的皇帝,而他是胖子”是假的。 P241

前一命题是我们日常生活中打赌的时候常说的话,它不过表示前件为假而已;所以如果前件是假的,则整个的命题是真的。 P242

)(这不过是具两个叙述词的命题,其他情形与以上的一样。 P243

如果某甲是《伯夷列传》的作者,而《伯夷列传》的作者是《货殖列传》的作者,则某甲是《货殖列传》的作者。 P244

)(这是一极显而易见的命题。 P245

如果我们能说《春秋》的作者是圣人,则《春秋》的作者存在。 P246

如果两命题函量的真假值相等——那就是说,如满足这两命题函量的命题或者同真或者同假——则这命题函量所定的类是一类。 P247

以上(四)(五)两条各有它的特别情形,(四)条可以说是数学基础之一,(五)条可以说是避免矛盾的原则。 P248

2. 关系词的出现。 P249

本章的各段不过选出原书中几个命题而已。 P251

那就是说,两命题函量的真假值不相等,它们所定的类是两类。 P252

它不是包含关系,它没有传递质。 P253

举例来说:《春秋》的作者属于人类等于说《春秋》的作者是人。 P254

第三组表示类与个体有同样情形的命题,本书不抄。 P255

这命题说:A类包含在B类等于说如果任何个体属于A类,则那一个体属于B类。 P256

)(这命题说:说x属于既A又B类等于说x既属于A类又属于B类。 P257

“Cls”这符号代表类。 P258

如果有人以为/是A、B两类之“和”而“和”又是两类相加的意思,那么/不会包含在A类。 P259

这个命题参考22.43就能够清楚。 P260

)(这两命题都是第四部第一章那个系统通式中的原则。 P261

)(这一命题表示A、B两类的“和”,彼此的位置可以掉换。 P262

读者可以用图形表示这里所说的道理。 P263

)(如果A类等于B类,则A类等于既A而又B类。 P264

)(此命题在22.59已经讨论过,此处不赘。 P265

以语言表示此命题似乎很难听,还是用图形好。 P266

)(非非A类就是A类,在类方面再负为正好像在命题方面再假为真一样。 P267

兹以语言表示第一命题即够:“非既A又B类等于非A或非B类。 P268

)(在语言方面,/颇不易表示。 P269

1. 普遍的具关系词的命题。 P270

两命题函量的真假值不相等,它们所定的关系是两关系。 P271

)/这符号表示 x 与 y 有 ψ(x,y)这一命题函量所定的关系。 P272

)(如果说任何x与任何y有R的关系等于说它们有S的关系,则R与S两关系相等;如果R与S两关系相等,则说任何x与任何y有R关系等于说它们有S关系。 P273

这两个命题都以关系为叙述词。 P274

(这里关系间的 与类间的/、命题间的/相似。 P275

关系方面的/也是用命题方面的“/ ”去表示。 P276

)(如果我们把/读为“非”,这个命题说x与y有非R的关系,等于说x与y有R关系是假的。 P277

)(这与以上一样,它不过直接表示两互相包含的关系相等,没有提到分子问题。 P278

)(如果R关系包含在S关系,而x与y有R关系,则x与y有S关系。 P279

如果R关系与S关系相等,则既R而又T的关系等于既S而又T的关系。 P280

)(如果R关系等于S关系,则说R关系包含在T关系,等于说S关系包含在T关系。 P281

)(说R关系包含在T关系,S关系也包含在T关系,等于说R或S关系包含在T关系。 P282

这两命题是一对,表示“或”与“与”的分别。 P283

)(如果R关系包含在S关系,则R或T的关系包含在S或T的关系。 P284

)(说既P又Q的关系包含在R,而既P又R的关系又包含在Q,等于说既P又Q的关系就是既P又R的关系。 P285

任何x与y有R或非R的关系。 P286

每一领域至少有一系统。 P288

演绎系统的基本命题则不然,它们的真假我们可以不管。 P289

c. 演绎系统的各部分大都是互相关联的。 P290

干部以下分两段讨论,支部不需特别讨论;我们要表示的不过是干部既定,支部随之。 P291

(三)从量的方面着想,一系统的基本概念的数目也是一问题。 P292

如果基本命题彼此不一致,由它们推论出来的结论也不一致。 P293

证明与证实不同。 P294

“原子”,//等等均不知应作何解释。 P295

(三)如(a,b)为两命题,“a或者b”等于“b或者a”。 P296

究竟什么样的系统是逻辑系统,以后还要谈到。 P297

有些部分虽可以保留而没有保留,所以我们不能说没有保留的部分都是要淘汰的部分,我们只能说要淘汰的部分都是不能保留的。 P298

2. 逻辑系统的界说。 P299

设一系统把可能分为两类,分别承认此两种可能的命题在那一系统范围之内为必然的命题。 P300

但无论如何在一种系统范围之内,只有一种必然,只能有一种必然。 P301

4. 必然之形式。 P302

基本命题是否是必然的命题?这问题不容易得一答案。 P303

形式与实质两字,或者容易发生误会。 P304

c. 必然命题,不仅能普遍地引用于任何事实,而且也是推论的普遍公式。 P305

逻辑系统是一种形式,虽然是必然之系统,而本身不是必然的。 P306

系统内所引用的思想均为系统本身所供给。 P307

此目的之达到与否,达到的方法如何,方法之便利与否,均为表示问题,均为系统问题。 P308

可能的可能或者有别的条件,但无论可能分为多少,每一个可能总要是那一个可能才行。 P309

此不可缺乏的条件即“桌子”一定要是“桌子”,“四方”一定要是“四方”。 P310

比较说得通的办法是把具体的东西与名称完全分开。 P311

事实上办到与否是另一命题。 P312

(一)宪法有成文与不成文的分别。 P313

如果我们所求者是同一原则的证实问题,而所谓证实者是举事列物求与“同一”原则相符的事实,则我们根本谈不到证实。 P314

总而言之,具体的东西,无论从性质方面或从关系方面着想,总不能保其不变。 P315

(一)以上曾经说过,同一原则不是表示一件事实的命题,不是形容事物的命题。 P316

可是如果我们的要求是说话要有意义,则“同一”原则是不能缺少的。 P317

a. 如果X代表类称,引用二分法后即有正反两种类称,那就是,X与(非X)。 P318

如果我们有一个命题p,引用真假二分法后,就有以下真假可能:如果有两个命题p与q引用二分法后,就有以下四个可能:如果有三个命题p、q与r,引用二分法后,就有以下八个可能:这种可能我们称为真假可能。 P319

原来的真假两可能是两个命题,一个说p是真的,一个说p是假的。 P320

b. “a”与“d”两命题有特别的情形。 P321

这就是承认所有可能的“必然”命题。 P322

这部书的基本命题也就是它的逻辑与算学的前提。 P323

一个命题p只有这两个可能,若此两可能之中任何一可能均为此基本命题所承认,它一定是必然的命题。 P324

可是q~r对于p有两个可能:pq~r与~pq~r,所以以上又等于此中pq~r重复,但毫无妨碍。 P325

P. M. 的十个基本命题中,五个以语言表示的都没有“├”符号。 P326

1. 矛盾的性质。 P327

”事实上无论所指的东西是什么——是四方的也好,是长方的也好,是圆的也好等等——这两命题不能都是假的(废话问题以后再谈)。 P328

可是我们不能说它在第二范围之内,没有直接的用处,就以为我们不能利用它为表示矛盾的工具。 P329

不仅如此,矛盾的表示,对于二分法也是相对的;如果我们利用三分法或n分法,则表示矛盾的方式与引用二分法的方式不同。 P330

但甲命题即矛盾原则,所以矛盾原则因用反证法而得证明。 P331

如果我们把第二例的秩序变更,我们也可以利用/去证明“A2=A”。 P332

(三)每一逻辑系统均有一特别的秩序,所谓成文的先后即此特别秩序中的先后。 P333

现在对于所谓“思想律”者有一番批评。 P334

(二)“矛盾”原则。 P335

界说方面的“同一”“排中”与“矛盾”,不仅是逻辑系统中的思想,而且是逻辑的思想;不仅是逻辑系统中的组织工具,而且是组织别的系统的工具与标准。 P336

系统的工具是一系统所利用以为那一系统演进与推论的工具。 P337

这两个思想在界说方面重要,在系统方面也重要。 P338

那就是说,/(二)如果q所代表的是一真命题,p所代表的命题可以真也可以假,而无论其为真或假,/总可以说得通;因为/这两可能均为/的定义所承认。 P339

一个真命题有“真值”,一个假命题有“假值”。 P340

这三个说法之中以(丙)说为严格。 P341

如果我们利用它以为定义的工具,形式蕴涵就表示φ与ψ的意义上的关系。 P342

设有两个命题p、q,而它有时有一种关系使我们说“q可以由p推论出来”,穆尔蕴涵就是与“可以推论出来”这一关系倒过来的关系。 P343

(四)这种蕴涵与真值蕴涵根本不能比较,与第一义的形式蕴涵也可以说是完全不同。 P344

究竟是什么颇不易说。 P345

它们代表普通的“如果——则”呢,它们是新发明呢,它们是新发现呢?在此处我们又要表示普通的“如果——则”的命题究竟是怎样的命题,实在不容易说。 P346

Carrol利用这论辩中的角色以为表示推论不可能的工具。 P347

如(甲)(乙)两命题不蕴涵(丙)命题,则根本不能得(丙)命题的结论。 P348

事实上本书第三部利用“类”“关系”“命题”为逻辑系统的原子。 P349

兹以图表示之如下。 P350

这两类的用处非常之大。 P351

把这样的类都集起来成一类名之为甲类,以上命题说甲类是它自己的分子之一。 P352

d. 类与命题。 P353

此之谓对称。 P354

b条的例可以传递而不必传递,本条的例“一定”不能传递。 P355

同性恋爱虽是非对称的关系,而不是反传递的关系,因为如果甲同性恋爱乙,乙同性恋爱丙,甲可以而不必同性恋爱丙。 P356

(一)如果甲是乙的父亲,乙一定不是甲的父亲。 P357

如果我们从类方面着手我们可以利用推论或不利用推论。 P358

由前说,那就是由token方面说写上一万个“字”字就有一万个字;由后说,那就是从type方面说写上一百万“字”字仍只有一个字。 P359

现在要提出命题由相对简单而到相对复杂的层次问题,再分析最简单的命题的种类。 P360

(二)最简单的命题可以分为两种:(甲)表示属性,(乙)表示关系。 P361

以“人”去形容x,好像以红去形容y,以“四方”去形容z。 P362

(乙)个体与个体有关系。 P363

这个说法把“比——长”的关系当作属性,把原来的四个名称变成三个名称。 P364

(二)这些简单命题可以分成表示个体的属性与表示个体与个体的关系的命题。 P365

Rx、y、z虽有以上φx所有的问题,而如果R是要三个关系分子的关系,则在Rx、y中,无论x、y代表什么,Rx、y总无所谓真假。 P366

关于值我们可以注意以下诸点。 P367

在那一系统之内不能有非真非假的命题,而在这系统之内可以有不定真不定假的命题。 P368

前一“或者”的用法是相容的用法,后一用法是不相容的用法。 P369

从这一方面看来,它与原来的命题意义一样。 P370

(三)原来的命题中的“姓张的或姓李的”可以分开,可是要用两个有“不是——就”的形式的话去分开:“如果是铁路局的求事者之一,他不是姓李的就是姓张的,而且(与)不是姓张的就是姓李的。 P371

相容的“或”的意义比不相容的“或”的意义广。 P372

c. “他的温和‘与’智慧征服了她的心”(此例得之于王遵明先生)。 P373

f. “秦‘与’楚为世仇”。 P374

在演绎系统里,“与”也是非常之重要的运算,它虽然不必是一系统的基本概念,而我们可以说它是基本概念之一。 P375

在二分法的系统里有二分法的“非”,在三分法的系统里有三分法的“非”,在n分法系统里有n分法的“非”。 P376

(甲)非红的意义既如此,则“x是非红的”形式,照以上的办法,也是一析取命题。 P377

既然如此,就有逻辑上的问题。 P378

在作者的经验中,大多数的学生很自然地把“所有的S不是P”这样的话解释成“无一S是P”。 P379

利用x以定桌子之义,说出一句话来,那句话是定义;表示“桌子”之义,事实上已经为大家所公认,而指出具体的x,说那个具体的东西在桌子的定义范围之内,所说的话为命题。 P380

这就是利用“非”与“或”以明“与”的意义。 P381

普通以为定义有名词与实质之分,其实只有名词的定义,没有实质的定义。 P382

这是说事实上我们用“人”这名词的时候,我们也就把“有理性的动物”的意思包含或蕴涵在内。 P383

逻辑系统既是由简单而复杂,当然也有同样的问题。 P384

可是有时在心理上理论与事实不容易分得很清楚。 P385

逻辑系统之所以为逻辑系统者,就因为它所要表示的实质是“必然”。 P386

定义所介绍的不是新思想,是新名词。 P387

以上两例的结论均对。 P388

此办法之所以说得通者,因为/是一普遍的命题,“p”既代表任何命题,它当然可以代表“~p”。 P389

他所注重的是由他的系统所承认的前提所推出来的命题彼此关联一系统;能应用固好,不能应用,而系统之为系统,仍有它的立场。 P390

这种间断清形似乎无法消灭。 P391

P. M. 中最初的推论是乙例的推论;如果只有乙例的推论,所得的命题就很有限了。 P392

我们似乎不能以一系统范围之内的方法证明那一系统的基本命题满足这三个条件。 P393

此前已经说过,所谓命题的独立者不过是命题彼此不相等或者彼此不相蕴涵而已。 P394

表示命题的独立与否的那一办法,似乎假设事实的全体不能容纳于一整个系统范围之内。 P395

普通引用的方法似乎是拿出系统通式的基本命题通式,加以事实方面的解释,如果在事实上照这个解释,基本命题都是真的,则这些基本命题是一致的。 P396

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